正多邊形密鋪

文/檸檬 |2022.10.06
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圖/琪琪

文/檸檬

大家玩拼圖的時候,除了用顏色、圖形辨認是否拼對以外,最重要的一點是放下的拼圖,是否能和部分拼好的拼圖「緊密貼合」,如果中間稍有縫隙,即使只是一毫米的差距,也能立刻判斷出拼錯了。裝修工人在貼地磚、或是牆上的磁磚時,也是這樣的,必須「緊密貼合」才是正確的。而這樣的「緊密結合」在數學上稱為「密鋪(Tessellation)」或「平面鑲嵌」,相信從字面上不難判斷出,「密鋪」是指用一些較小的圖形,去填滿一個較大的平面,較小的圖形間彼此沒有空隙、也不重疊,緊密的貼合在一起。

緊密貼合 參雜規則

在數學中的「密鋪」,可分為規則鑲嵌和不規則鑲嵌兩種。規則鑲嵌就如大家常見的貼磁磚一般,以完全相同的圖形鋪成;不規則鑲嵌就是其間參雜了不同的圖形。而我們今天僅討論規則鑲嵌裡的正多邊形密鋪,也就是整個平面,完全只用一種正多邊形鑲嵌,緊密結合。正多邊形顧名思義是指一個各邊等長、各角角度相等的多邊形。正多邊形自正三角形算起,有正三角形、正四邊形、正五邊形,可以說有無限多的正多邊形,這麼多的正多邊形,想要找到可以「規則鑲嵌」的正多邊形應該不是難事吧?應該有非常多個吧?其實不然。

早在古希臘數學家便發現,儘管有無限個正多邊形,但要使用同一種正多邊形完全填滿平面的「正多邊形密鋪」卻極少,僅有正三角形、正四邊形(正方形)和正六邊形符合規則鑲嵌。咦?是不是比想像中的少呢?這是什麼原因呢?

我們知道正三角形的每個內角為60°,當6個正三角形緊密排在一起時,會形成一個正六邊形,此外,6個正三角形頂點彼此相連處,會有6個內角,此6個內角和為360°,所以6個三角形的頂角相連,剛好可以填滿360°,也就是沒有縫隙的緊密相連,滿足正多邊形的規則鑲嵌。

鑲嵌祕訣 內角總和

那麼,聰明的你是否發現了?要能滿足正多邊形的規則鑲嵌,需要數個正多邊形的頂角相加恰為360°,知道這一點後,要找到下一個滿足規則鑲嵌的正多邊形就不是難事囉!正四邊形的內角為90°,4個正四邊形的頂角相加恰為360°,因此正四邊形是滿足規則鑲嵌的正多邊形。正五邊形的內角為108°,幾個頂角相加都無法剛好為360°,所以正五邊形不是滿足規則鑲嵌正多邊形。正六邊形的內角為120°,3個正六邊形的頂角相加恰為360°,因此正六邊形是滿足規則鑲嵌的正多邊形。依此類推,往下找,已經無法找到其他可以滿足規則鑲嵌的正多邊形了。

談了這麼多「密鋪(鑲嵌)」的正多邊形,對我們的生活上有什麼幫助呢?除了鋪地磚和磁磚外,在許多藝術上,也會利用平面鑲嵌的原理。例如荷蘭著名的版畫藝術家莫里茨‧科內利斯‧艾雪(Maurits Cornelis Escher)便利用平面鑲嵌的原理完成了許多相關的藝術品,在平面視覺藝術上取得極大的成就,喜歡的朋友不妨搜尋看看有哪些美麗的作品吧!

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