破鏡怎麼重圓?

文/鍾邦友 |2022.06.29
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圖/ki mi
圖/ki mi

文/鍾邦友

「破鏡重圓」這句成語,是比喻夫妻失散後,重新團聚或決裂後重新和好,其典故出自中國魏晉南北朝時期,陳國即將亡國時,駙馬徐德言把一個銅鏡破開,跟妻子樂昌公主兩人各拿一半,約定日後作為重新相見的憑證。後來,徐德言果然靠半塊鏡子,找到妻子並重新團聚。

故事裡駙馬和公主各保留了一半的鏡子,很順利的破鏡重圓。然而現實生活中,鏡子極可能碎裂成更多小碎片,以數學的角度來看,如果我們的手中僅有圓鏡的一塊破碎片,我們該如何找出圓的圓心,並得知圓原本的半徑,重做一塊新的圓鏡?

碎片玄機 從圓周找



假設有人不小心打碎了一塊圓鏡,最大塊的碎片如左下圖所示,根據不共線三點,可以決定一圓的定理,我們在圓弧的邊緣上任意找出三點(因為圓弧不是直線,所以找出來的三點一定不會共線)。

找出半徑 重圓破鏡



我們把這三個點設為A、B、C,將AB及BC分別連成線段,並利用圓規畫出兩線段的垂直平分線L1、L2,這兩條線又交於D點,如右圖(垂直平分線的作法是,分別以某線段兩端點為圓心,大於線段一半之等長長度為半徑畫弧,兩弧相交之兩點連接成的直線即為該線段的垂直平分線)。

由於垂直平分線上的任一點到線段的兩端等距離,所以AD=BD且BD=CD,AD、BD、CD便成為圓的半徑,而D則是圓心,重新以圓規作圖,便能復原未破掉之前的圓了。

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