質數的美麗與哀愁

文/檸檬 |2022.05.18
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圖/樹下繪本
圖/樹下繪本

文/檸檬

當我們分別將17和30兩個數作質因數分解,可以分別得到:

17=1×17

30=1×2×3×5

像17這樣只有1和17自己兩個質因數的數,被稱為「質數」,又稱為「素數」。在大於1的正整數中,不是質數的數被稱為合數。如果我們將質數由小到大列出:2、3、5、7……我們可以發現有無限個質數(此處不列出證明)。此外,我們還可以從這些質數中發現有趣的現象,2是質數中唯一的偶數。那麼,質數有什麼用處呢?在歷史上,有許多數學家為了質數花費無數心血,許多的數學猜想都和質數相關,但質數只和數學有關嗎?喔,請不要小看這個孤獨卻美麗的數唷!

質數升級 加密演算



在1970年代,羅納德‧李維斯特(Ron Rivest)、阿迪‧薩莫爾(Adi Shamir)和倫納德‧阿德曼(Leonard Adleman)利用質數的基本性質,共同提出RSA加密演算法。我們都知道對愈小的數做質因數分解愈容易,如果要對愈大的數作質因數分解,將是愈困難的事情,RSA演算法便是利用質數這個特性,當加密過程中,用的質數愈大,要分解也就愈難,想破解密碼也就更不容易。也因此,質數被廣泛運用於金融資訊的傳遞中。

此外,質數在大自然裡也扮演了重要的角色喔!當春雨綿綿過後,蟬的鳴叫聲開始此起彼落,我們知道將迎接盛夏來臨。在台灣,有超過百種以上的蟬,雄蟬會利用鳴聲吸引雌蟬,並且完成交配,雌蟬把卵產在樹皮內,當卵孵化出若蟲後,若蟲回到土裡生活。以台灣熊蟬為例,會花上4到5年的時間在黑漆漆的土裡生活,經過4次的蛻皮,在羽化的前一天夜晚才鑽出地面為成蟲。然而,台灣熊蟬成蟲的壽命只有短短的2到3周。

生命週期 遇見質數



而在美東的森林裡,有一種蟬被稱為「週期蟬」,且週期蟬可分為2種,分別為週期為13年或17年的蟬,而17年週期蟬方於去年5月(2021年5月)破土而出。週期蟬的若蟲會在地底下度過比一般的蟬更長的時間(13年或17年),接著破土而出,在4到6周內竭盡力氣嘶鳴以求得伴侶交配並產卵,然後迎接死亡的到來,而卵的孵化就接著進入下一個生命週期。

而這些蟬為什麼選擇這樣的時間出土呢?有科學家指出是為了避開不一樣週期的蟬群,也可以降低遭遇天敵的機率。如果週期蟬的生命週期為10年,牠們可能會遇見生命週期為1、2、5和10年的捕食者。但如果是週期蟬的生命週期為13年,牠們僅會遇見生命週期為1和13年的捕食者,大大降低了遇到捕食者的機率,換句話說,這個族群活下去的機率就會增加。

在漆黑的地底下經過13年或17年的長久等待,僅為了1個月左右的喧囂鳴叫,並將蟄伏長久的能量,貢獻為下一代的繁衍。筆者不禁想人的一生也恍若這蟬,總在等待與破土中交替輪迴,生命看似恆常久遠,卻又僅在一呼一吸之間。

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